罗尔定理，罗尔定理证明？

投稿用户 • 2023年10月9日 am8:54 • 范文大全 • 阅读 152

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2023年山东专升本高数考试的证明题在数学定理的应用上更加注重实际问题的解决，其中罗尔定理和拉格朗日中值定理成为了考试的重点。尤其是在数三的证明题中，这两个定理的应用更是不可或缺。即使是数一数二的同学，也需要深入理解这些定理，才能在数三的证明题中游刃有余。因此，考生需要在平时的学习中注重理解和掌握这些知识点，并能够熟练地运用它们解决实际问题。只有这样，才能在考试中取得好成绩。

教研老师李新指出，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况，即函数在端点处取相等的值。在应用罗尔定理时，我们需要考虑两个问题：首先是选择哪个函数进行分析，其次是如何找到函数值相等的两个点。对于上述数学证明题，我们可以采用以下思路：

为了使一阶导数等于0，需要使用罗尔定理来求解二阶导数为0的情况。

在寻找函数值相等的两个点时，我们可以利用函数值的关系来得到导数相等的条件。具体来说，我们可以设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续可导，且在$a$和$b$处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$。根据罗尔定理，存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。

但是，如果只有一个等式$f(a)=f(b)$，我们无法直接得到导数相等的条件。因此，我们可以利用拉格朗日中值定理来凑出导数相等的条件。具体来说，在区间$[a,b]$上应用拉格朗日中值定理，可以得到存在$din(a,b)$，使得$f'(d)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。由于$f(a)=f(b)$，因此$f'(d)=0$，即存在$din(a,b)$，使得$f'(d)=0$。

综上所述，我们可以利用拉格朗日中值定理来凑出导数相等的条件，从而解决罗尔定理中需要两端点的函数值相等的问题。最终，根据罗尔定理，可以得出证明过程。

虽然数三证明题确实有一定难度，但对于2024届的学生来说，不要因为这道题而打乱自己的复习计划。我们应该以基础为主，不要把太多精力放在难题、偏题或怪题上。

最后，为了帮助大家更好地备考升学专升本考试，以下是数学三证明题的证明过程，供大家参考。

1. 证明：$limlimits_{xto0}frac{sin x}{x}=1$

解：由于$limlimits_{xto0}frac{sin x}{x}$的形式为$frac{0}{0}$，因此可以使用洛必达法则进行求解。

$becauselimlimits_{xto0}frac{d(sin x)}{dx}=cos x$

$thereforelimlimits_{xto0}frac{sin x}{x}=limlimits_{xto0}frac{cos x}{1}=1$

故证毕。

2. 证明：$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{x}dx>frac{2}{pi}$

解：由于$frac{sin x}{x}$在$(0,frac{pi}{2})$上单调递减，因此可以使用矩形法进行估算。

将区间$(0,frac{pi}{2})$分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$frac{pi}{2n}$，则有：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{x}dx>frac{pi}{2n}sumlimits_{i=1}^nfrac{sin(frac{ipi}{2n})}{frac{ipi}{2n}}$

当$n$趋近于无穷大时，上式右侧的求和式趋近于$int_0^{infty}frac{sin x}{x}dx=frac{pi}{2}$，因此有：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{x}dx>frac{pi}{2n}sumlimits_{i=1}^nfrac{sin(frac{ipi}{2n})}{frac{ipi}{2n}}>frac{pi}{2n}cdot ncdotfrac{2}{pi}=frac{1}{n}$

当$n$趋近于无穷大时，上式右侧趋近于$0$，因此有：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{x}dx>frac{2}{pi}$

故证毕。

3. 证明：$limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{n}=1$

解：由于$limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{n}$的形式为$1^{infty}$，因此可以使用对数法进行求解。

令$x=ln n$，则有：

$limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{n}=limlimits_{xtoinfty}e^{frac{ln n}{n}}=limlimits_{xtoinfty}e^{frac{x}{e^x}}$

对上式右侧的指数函数进行求导，得到：

$(e^{frac{x}{e^x}})'=frac{e^{frac{x}{e^x}}}{e^x}cdot(1-frac{x}{e^x})$

当$x>e$时，$1-frac{x}{e^x}<0$，因此有：

$(e^{frac{x}{e^x}})'<0$

即指数函数在$x>e$时单调递减，因此有：

$limlimits_{xtoinfty}e^{frac{x}{e^x}}=limlimits_{ntoinfty}sqrt[n]{n}=e^{limlimits_{xtoinfty}frac{x}{e^x}}=e^0=1$

故证毕。

............试读结束............

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