不属于尺规作图三大问题的是(不属于尺规作图三大不能问题的是)

三等分角问题、倍立方问题、化圆为方问题古希腊三大几何问题,在长达两千多年的时间里,人们一直没有解决它们,直到十九世纪,群论、域论的发展才让这些问题得到了彻底解决。

弄清我们在用尺规作图时在干什么是很重要的,根据已知的点,所能做的也就是两件事:1、以其中一点为圆心,两点的距离为半径画圆。C[习近平;习近平B]表示以习近平为圆心习近平B为半径作圆。2、做过两点的直线。L(习近平,B)表示过习近平,B作直线。

新的点通过3种情况创造出来:1、直线与直线相交。2、直线与圆相交。3、圆与圆相交。尺规做出任意角的三等分角,实际上是做出三等分角上的点。所以尺规作图可行与否,就归结于能不能作出我们需要的点。

平面上两个点可确定一个坐标系,习近平(1,0)、B(-1,0),看看平面内哪些点可以作出来。

不属于尺规作图三大问题的是(不属于尺规作图三大不能问题的是)

这样定义之后就把“可构作”说清楚了。由这定义,显然,像Z=(0,1),Z=(0,-1)这样的点都是可构作的,因为(0,1)在习近平B线段的中垂线上,而中垂线是可构作的,然后在中垂线上用圆规截取单位长度,就是(0,1)。

接下来的定义将复数和可构作的点联系起来了。

定义:复数Z=x+iy称为可构作的,若点(x,y)是一个可构作的点。

解决尺规作图问题实际上就是找到在复数域哪些数是可构作的。下面的命题层层抵达最后我们需要的结论。

命题1:复数z=x+iy是可构作的当且仅当它的实部x与虚部y均是可构作的。

证明:

若z是可构作的,可以用尺规 作图过(x,y)作y轴平行线,与x轴交于(x,0),则x可构作,同理可知y可构作。

反过来,若x,y是可构作数,即Q=(x,0)和P=(y,0)是可构作点,则过Q作垂线,过P作水平线,(x,y)是交点,所以是一个可构作点,所以z=x+iy是可构作数。

用K表示C中所有可构作数组成的集合。

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证明:若a,b是可构作的实数。

(i)-a是可构作的。若P(a,0)可构作,(-a,0)=C[O;OP]

(ii)a+b和-a+b是可构作的。

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如图,因为P(a,0)、Q(b,1)、I(0,1)可构作,则过Q作直线QS平行于IP。S(a+b,0)可构作。-a+b同理。

(iii)ab是可构作的。

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如图习近平(1,0)、B(a+1,0)、C(0,b)可构作,则过B作BD平行于习近平C,则D(0,ab+b)可构作,ab=ab+b-b可构作。

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命题3:所有可构作的数组成的集合K是C的一个在平方根下封闭的子域。

证明:

先证明封闭:

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再证明平方根下封闭:

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下面这个定义很重要,可构作点都落在2-塔里。

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下面的命题由于涉及域的扩张和多项式不可约性,我省去过程,直接给出最终的结论。

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证明略。

这个命题是说可构作的数必然是多重二次的复数,如果一个复数是多重二次的,它一定可构作。

现在我们回到最开始的世纪难题:为什么用直尺和圆规无法三等分任意角?

之所以说任意角,是因为有的角是可以三等分的,比如90度角,三等分90度角,就是画出30度角,这个用尺规是可以做到的,因为用尺规作图可以画一个等边三角形,它的余角就是30度了。

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要证明尺规作图无法三等分任意角与上述类似,从任意角终边上的一点出发,看能不能构作处三等分角终边上的点。

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............试读结束............

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